在考研数学线性代数部分，证明题往往是对考生逻辑思维和证明技巧的深度考验。这类题目通常要求考生不仅掌握线性代数的基本概念和定理，还要能够灵活运用这些知识进行严密的逻辑推理。以下是一例证明题：
题目：设矩阵 \( A = \begin{bmatrix} 1 & 2 \\ 3 & 4 \end{bmatrix} \)，证明：若向量 \( \mathbf{x} = \begin{bmatrix} x_1 \\ x_2 \end{bmatrix} \) 是 \( A \) 的一个特征向量，则 \( \mathbf{x} \) 的模长 \( |\mathbf{x}| \) 是 \( A \) 的特征值 \( \lambda \) 的平方根。
证明：
1. 假设 \( \mathbf{x} \) 是 \( A \) 的一个特征向量，对应的特征值为 \( \lambda \)，则有 \( A\mathbf{x} = \lambda\mathbf{x} \)。
2. 将 \( A \) 和 \( \mathbf{x} \) 代入上式，得到 \( \begin{bmatrix} 1 & 2 \\ 3 & 4 \end{bmatrix} \begin{bmatrix} x_1 \\ x_2 \end{bmatrix} = \lambda \begin{bmatrix} x_1 \\ x_2 \end{bmatrix} \)。
3. 展开并整理得 \( \begin{bmatrix} x_1 + 2x_2 \\ 3x_1 + 4x_2 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} \lambda x_1 \\ \lambda x_2 \end{bmatrix} \)。
4. 对比两边的对应元素，得到两个方程：\( x_1 + 2x_2 = \lambda x_1 \) 和 \( 3x_1 + 4x_2 = \lambda x_2 \)。
5. 解这个方程组，得到 \( \lambda = \frac{1}{2} \) 或 \( \lambda = 2 \)。
6. 计算 \( \mathbf{x} \) 的模长，得到 \( |\mathbf{x}| = \sqrt{x_1^2 + x_2^2} \)。
7. 将 \( \lambda \) 的值代入 \( |\mathbf{x}| \) 的表达式中，得到 \( |\mathbf{x}| = \sqrt{\left(\frac{1}{2}x_1\right)^2 + \left(\frac{1}{2}x_2\right)^2} \) 或 \( |\mathbf{x}| = \sqrt{2x_1^2 + 2x_2^2} \)。
8. 可见，无论 \( \lambda \) 取何值，\( |\mathbf{x}| \) 都是 \( \lambda \) 的平方根。
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