线性代数是考研数学三中一个非常重要的部分，以下是一道原创的线性代数题目：
题目：设矩阵 \( A = \begin{bmatrix} 1 & 2 & 3 \\ 4 & 5 & 6 \\ 7 & 8 & 9 \end{bmatrix} \)，求矩阵 \( A \) 的特征值和特征向量。
解析：首先计算矩阵 \( A \) 的特征多项式，即求 \( \det(A - \lambda I) \)，其中 \( I \) 是单位矩阵。计算得：
\[
\det(A - \lambda I) = \det\begin{bmatrix} 1-\lambda & 2 & 3 \\ 4 & 5-\lambda & 6 \\ 7 & 8 & 9-\lambda \end{bmatrix}
\]
通过行变换或直接展开计算，得到特征多项式为 \( \lambda^3 - 27\lambda - 54 = 0 \)。解这个方程可得 \( A \) 的特征值。
进一步，对于每个特征值，求对应的特征向量。例如，对于特征值 \( \lambda_1 \)，求解方程组 \( (A - \lambda_1 I)x = 0 \) 即可得到对应的特征向量。
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