线性代数在考研数学三中占据着重要地位，以下是一道典型的线性代数题目：
题目：设矩阵 \( A = \begin{bmatrix} 1 & 2 \\ 3 & 4 \end{bmatrix} \)，求矩阵 \( A \) 的特征值和特征向量。
解答过程如下：
首先，求矩阵 \( A \) 的特征值。根据特征值的定义，我们有：
\[ \det(A - \lambda I) = 0 \]
其中，\( I \) 是单位矩阵，\( \lambda \) 是特征值。将 \( A \) 代入上式，得到：
\[ \det\begin{bmatrix} 1-\lambda & 2 \\ 3 & 4-\lambda \end{bmatrix} = 0 \]
计算行列式，得到：
\[ (1-\lambda)(4-\lambda) - 6 = 0 \]
\[ \lambda^2 - 5\lambda + 2 = 0 \]
解这个二次方程，得到特征值：
\[ \lambda_1 = 2, \quad \lambda_2 = 3 \]
接下来，求对应的特征向量。对于 \( \lambda_1 = 2 \)，我们需要解线性方程组：
\[ (A - 2I)x = 0 \]
即：
\[ \begin{bmatrix} -1 & 2 \\ 3 & 2 \end{bmatrix} \begin{bmatrix} x_1 \\ x_2 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 0 \\ 0 \end{bmatrix} \]
解得特征向量：
\[ x_1 = 2x_2 \]
所以，一个特征向量可以取为：
\[ \alpha = \begin{bmatrix} 2 \\ 1 \end{bmatrix} \]
同理，对于 \( \lambda_2 = 3 \)，我们需要解线性方程组：
\[ (A - 3I)x = 0 \]
即：
\[ \begin{bmatrix} -2 & 2 \\ 3 & 1 \end{bmatrix} \begin{bmatrix} x_1 \\ x_2 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 0 \\ 0 \end{bmatrix} \]
解得特征向量：
\[ x_1 = -x_2 \]
所以，另一个特征向量可以取为：
\[ \beta = \begin{bmatrix} -1 \\ 1 \end{bmatrix} \]
综上，矩阵 \( A \) 的特征值为 \( \lambda_1 = 2 \) 和 \( \lambda_2 = 3 \)，对应的特征向量分别为 \( \alpha = \begin{bmatrix} 2 \\ 1 \end{bmatrix} \) 和 \( \beta = \begin{bmatrix} -1 \\ 1 \end{bmatrix} \)。
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