【考研数学模考4套卷答案】
一、选择题答案：
1. C
2. B
3. D
4. A
5. E
6. D
7. C
8. B
9. A
10. E
二、填空题答案：
11. $$ \frac{\pi}{2} $$
12. $$ \frac{1}{3} $$
13. $$ -\frac{1}{2} $$
14. $$ \frac{\sqrt{2}}{2} $$
15. $$ 2\pi $$
三、解答题答案：
16. 解：$$ \int x^3 e^x dx = \frac{x^3 e^x}{3} - \int \frac{x^3 e^x}{3} dx = \frac{x^3 e^x}{3} - \frac{1}{3} \int x^3 e^x dx + C $$
令 $$ u = \int x^3 e^x dx $$，则 $$ \int x^3 e^x dx = \frac{u}{4} + C $$。
17. 解：设函数 $$ f(x) = \begin{cases} x^2, & x \leq 0 \\ 2x + 1, & x > 0 \end{cases} $$
则 $$ f'(0) = \lim_{x \to 0} \frac{f(x) - f(0)}{x - 0} = \lim_{x \to 0} \frac{x^2 - 0}{x} = \lim_{x \to 0} x = 0 $$。
18. 解：设函数 $$ f(x) = x^3 - 3x $$，则 $$ f'(x) = 3x^2 - 3 $$。
令 $$ f'(x) = 0 $$，解得 $$ x = \pm 1 $$。
当 $$ x < -1 $$ 或 $$ x > 1 $$ 时，$$ f'(x) > 0 $$，函数单调递增；
当 $$ -1 < x < 1 $$ 时，$$ f'(x) < 0 $$，函数单调递减。
四、证明题答案：
19. 证明：设 $$ \alpha = \arcsin x $$，则 $$ \sin \alpha = x $$。
由三角恒等式 $$ \cos^2 \alpha = 1 - \sin^2 \alpha $$，得 $$ \cos \alpha = \sqrt{1 - x^2} $$。
因此，$$ \sin \alpha \cos \alpha = x \sqrt{1 - x^2} $$。
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