线性代数是考研数学中的重要组成部分，以下是一道具有代表性的线性代数题目：
题目：设矩阵 \( A = \begin{bmatrix} 1 & 2 \\ 3 & 4 \end{bmatrix} \)，求矩阵 \( A \) 的特征值和特征向量。
解答：首先，我们需要求解特征多项式 \( \det(A - \lambda I) = 0 \)，其中 \( I \) 是单位矩阵，\( \lambda \) 是特征值。
计算特征多项式：
\[ \det(A - \lambda I) = \det \begin{bmatrix} 1-\lambda & 2 \\ 3 & 4-\lambda \end{bmatrix} = (1-\lambda)(4-\lambda) - 6 = \lambda^2 - 5\lambda - 2 = 0 \]
解这个二次方程，得到特征值：
\[ \lambda_1 = -1, \quad \lambda_2 = 2 \]
接下来，分别求出对应的特征向量。
对于 \( \lambda_1 = -1 \)，解方程组 \( (A + I)x = 0 \)：
\[ \begin{bmatrix} 2 & 2 \\ 3 & 3 \end{bmatrix} \begin{bmatrix} x_1 \\ x_2 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 0 \\ 0 \end{bmatrix} \]
得到特征向量 \( x_1 = 1, x_2 = -1 \)，即 \( \alpha_1 = \begin{bmatrix} 1 \\ -1 \end{bmatrix} \)。
对于 \( \lambda_2 = 2 \)，解方程组 \( (A - 2I)x = 0 \)：
\[ \begin{bmatrix} -1 & 2 \\ 3 & 2 \end{bmatrix} \begin{bmatrix} x_1 \\ x_2 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 0 \\ 0 \end{bmatrix} \]
得到特征向量 \( x_1 = 2, x_2 = 3 \)，即 \( \alpha_2 = \begin{bmatrix} 2 \\ 3 \end{bmatrix} \)。
综上，矩阵 \( A \) 的特征值为 \( -1 \) 和 \( 2 \)，对应的特征向量分别为 \( \alpha_1 = \begin{bmatrix} 1 \\ -1 \end{bmatrix} \) 和 \( \alpha_2 = \begin{bmatrix} 2 \\ 3 \end{bmatrix} \)。
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