在考研数学一中，积分题是考察考生对微积分理论掌握程度和应用能力的重要环节。以下是一道典型的积分题专练：
题目：已知函数$f(x) = x^3 - 3x^2 + 2x + 1$，求定积分$\int_0^1 f(x) \, dx$。
解答过程：
1. 首先，我们需要计算函数$f(x)$在区间$[0,1]$上的定积分。根据定积分的定义，我们可以将积分区间$[0,1]$划分为若干小区间，然后计算每个小区间上的积分和。
2. 将区间$[0,1]$划分为$n$个小区间，每个小区间的长度为$\Delta x = \frac{1}{n}$。则每个小区间的积分可以表示为$f(x_i) \Delta x$，其中$x_i$为每个小区间的右端点。
3. 根据定积分的定义，我们有：
$$\int_0^1 f(x) \, dx = \lim_{n \to \infty} \sum_{i=1}^n f(x_i) \Delta x$$
4. 当$n$趋向于无穷大时，小区间的长度$\Delta x$趋向于0，此时求和式可以转化为定积分。因此，我们有：
$$\int_0^1 f(x) \, dx = \lim_{n \to \infty} \sum_{i=1}^n f(x_i) \Delta x = \lim_{n \to \infty} \sum_{i=1}^n (x_i^3 - 3x_i^2 + 2x_i + 1) \cdot \frac{1}{n}$$
5. 对上式进行求和，得到：
$$\int_0^1 f(x) \, dx = \lim_{n \to \infty} \left(\frac{1}{n} \sum_{i=1}^n x_i^3 - \frac{3}{n} \sum_{i=1}^n x_i^2 + \frac{2}{n} \sum_{i=1}^n x_i + \sum_{i=1}^n 1\right)$$
6. 根据定积分的性质，我们可以将上式中的求和转化为定积分。因此，我们有：
$$\int_0^1 f(x) \, dx = \lim_{n \to \infty} \left(\frac{1}{n} \int_0^1 x^3 \, dx - \frac{3}{n} \int_0^1 x^2 \, dx + \frac{2}{n} \int_0^1 x \, dx + \int_0^1 1 \, dx\right)$$
7. 计算各个定积分，得到：
$$\int_0^1 f(x) \, dx = \lim_{n \to \infty} \left(\frac{1}{n} \cdot \frac{1}{4} - \frac{3}{n} \cdot \frac{1}{3} + \frac{2}{n} \cdot \frac{1}{2} + 1\right)$$
8. 当$n$趋向于无穷大时，上式中的极限值为：
$$\int_0^1 f(x) \, dx = \frac{1}{4} - 1 + 1 + 1 = \frac{5}{4}$$
因此，定积分$\int_0^1 f(x) \, dx$的值为$\frac{5}{4}$。
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