在高等数学考研中，求极限的题目往往以考查学生的极限计算能力为核心。以下是一道典型的考研求极限题目：
题目：计算极限 \(\lim_{x \to 0} \frac{\sin x}{x^2}\)。
解答过程：
1. 首先，我们可以利用极限的基本性质，将分子和分母同时除以 \(x^2\)，得到：
\[\lim_{x \to 0} \frac{\sin x}{x^2} = \lim_{x \to 0} \frac{\sin x}{x} \cdot \frac{1}{x}\]
2. 根据极限的乘法法则，可以将上式拆分为两个极限的乘积：
\[\lim_{x \to 0} \frac{\sin x}{x} \cdot \lim_{x \to 0} \frac{1}{x}\]
3. 其中，\(\lim_{x \to 0} \frac{\sin x}{x}\) 是一个常见的极限，其值为 1。而对于 \(\lim_{x \to 0} \frac{1}{x}\)，当 \(x\) 趋向于 0 时，其值趋向于无穷大，即 \(\lim_{x \to 0} \frac{1}{x} = \infty\)。
4. 将上述两个极限相乘，得到：
\[\lim_{x \to 0} \frac{\sin x}{x} \cdot \lim_{x \to 0} \frac{1}{x} = 1 \cdot \infty\]
5. 在这里，我们需要注意的是，\(1 \cdot \infty\) 并不是一个确定的数值，而是表示极限存在但不确定。为了进一步求解，我们可以使用洛必达法则。
6. 根据洛必达法则，我们对分子和分母同时求导：
\[\lim_{x \to 0} \frac{\sin x}{x^2} = \lim_{x \to 0} \frac{\cos x}{2x}\]
7. 再次使用洛必达法则，对分子和分母同时求导：
\[\lim_{x \to 0} \frac{\cos x}{2x} = \lim_{x \to 0} \frac{-\sin x}{2}\]
8. 最后，我们得到：
\[\lim_{x \to 0} \frac{-\sin x}{2} = \frac{0}{2} = 0\]
因此，本题的答案为 0。
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