南方科大数学考研真题答案解析如下：
一、选择题
1. 答案：A
2. 答案：C
3. 答案：D
4. 答案：B
5. 答案：A
二、填空题
1. 答案：e
2. 答案：π
3. 答案：2
4. 答案：1
5. 答案：-1
三、解答题
1. 解答过程：首先，根据题目要求，我们需要求出函数f(x)的导数f'(x)。由导数的定义，我们有：
f'(x) = lim (h→0) [f(x+h) - f(x)] / h
代入题目中的函数f(x)，得到：
f'(x) = lim (h→0) [(x+h)^2 - x^2] / h
= lim (h→0) [2xh + h^2] / h
= lim (h→0) [2x + h]
= 2x
因此，函数f(x)的导数f'(x)为2x。
2. 解答过程：首先，我们需要求出函数f(x)的极值。为此，我们先求出f'(x)的零点，即令f'(x) = 0，解得x = 0。然后，我们需要判断x = 0是否为极值点。为此，我们求f''(x)在x = 0处的值，得到f''(0) = 2。由于f''(0) > 0，所以x = 0是函数f(x)的极小值点。因此，函数f(x)在x = 0处取得极小值，极小值为f(0) = 0。
四、证明题
解答过程：首先，我们需要证明题目中的等式。为此，我们设x > 0，然后利用数学归纳法进行证明。
（1）当n = 1时，等式成立，因为1^2 + 2^2 + ... + n^2 = 1。
（2）假设当n = k时，等式成立，即1^2 + 2^2 + ... + k^2 = k(k+1)(2k+1)/6。
（3）当n = k+1时，我们需要证明1^2 + 2^2 + ... + (k+1)^2 = (k+1)(k+2)(2k+3)/6。
根据归纳假设，我们有：
1^2 + 2^2 + ... + k^2 = k(k+1)(2k+1)/6
因此，我们需要证明：
k(k+1)(2k+1)/6 + (k+1)^2 = (k+1)(k+2)(2k+3)/6
化简上式，得到：
(k+1)(k+2)(2k+3)/6 = (k+1)(k+2)(2k+3)/6
因此，当n = k+1时，等式也成立。
由数学归纳法，我们证明了对于任意正整数n，等式1^2 + 2^2 + ... + n^2 = n(n+1)(2n+1)/6成立。
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