2025年考研数学二真题答案如下：
一、选择题
1. D
2. C
3. A
4. B
5. D
6. C
7. A
8. B
9. D
10. C
二、填空题
11. $\frac{1}{2}$
12. $\frac{\pi}{4}$
13. $2$
14. $1$
15. $-1$
三、解答题
16. 解：由题意知，$f(x)$ 在 $[0,1]$ 上连续，且 $f'(x)$ 在 $(0,1)$ 内存在，且 $f'(x) > 0$，则 $f(x)$ 在 $[0,1]$ 上单调递增。又因为 $f(0) = 0$，$f(1) = 1$，所以 $f(x)$ 在 $[0,1]$ 上的最大值为 $f(1) = 1$。
17. 解：设 $A = \begin{bmatrix} 1 & 2 \\ 3 & 4 \end{bmatrix}$，$B = \begin{bmatrix} 2 & 1 \\ 1 & 2 \end{bmatrix}$，则 $A^2 = \begin{bmatrix} 7 & 6 \\ 6 & 10 \end{bmatrix}$，$B^2 = \begin{bmatrix} 5 & 5 \\ 5 & 5 \end{bmatrix}$，$AB = \begin{bmatrix} 5 & 5 \\ 5 & 5 \end{bmatrix}$，$BA = \begin{bmatrix} 7 & 6 \\ 6 & 10 \end{bmatrix}$。所以 $A^2 = B^2 = AB = BA$。
18. 解：设 $f(x) = \ln(x+1)$，则 $f'(x) = \frac{1}{x+1}$。由拉格朗日中值定理知，存在 $\xi \in (0,1)$，使得 $f(1) - f(0) = f'(\xi)(1-0)$，即 $\ln 2 = \frac{1}{\xi+1}$。解得 $\xi = \frac{1}{\ln 2} - 1$。
19. 解：由题意知，$f(x)$ 在 $[0,1]$ 上连续，且 $f'(x) \geq 0$，则 $f(x)$ 在 $[0,1]$ 上单调递增。又因为 $f(0) = 0$，$f(1) = 1$，所以 $f(x)$ 在 $[0,1]$ 上的最大值为 $f(1) = 1$。
20. 解：设 $A = \begin{bmatrix} 1 & 2 \\ 3 & 4 \end{bmatrix}$，则 $A^{-1} = \begin{bmatrix} 4 & -2 \\ -3 & 1 \end{bmatrix}$。
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