柯西不等式，又称柯西-施瓦茨不等式，是数学分析中的一个重要不等式。以下是对柯西不等式的一种证明方法：
证明：
设实数序列 $\{a_n\}$ 和 $\{b_n\}$ 均为非负数列，则有：
$$\left( \sum_{n=1}^{n}a_n^2 \right)\left( \sum_{n=1}^{n}b_n^2 \right) \geq \left( \sum_{n=1}^{n}a_nb_n \right)^2$$
证明过程：
1. 平方差公式：设 $S = \sum_{n=1}^{n}a_n^2$ 和 $T = \sum_{n=1}^{n}b_n^2$，则 $S$ 和 $T$ 均为非负数。
2. 展开平方：$(S - T)^2 \geq 0$。
3. 展开并整理：$S^2 - 2ST + T^2 \geq 0$。
4. 移项：$S^2 + T^2 \geq 2ST$。
5. 应用柯西不等式：由于 $a_n$ 和 $b_n$ 均为非负数，所以有 $a_n^2 \geq 0$ 和 $b_n^2 \geq 0$。因此，$S \geq 0$ 和 $T \geq 0$。
6. 结论：由 $S^2 + T^2 \geq 2ST$ 可得 $\left( \sum_{n=1}^{n}a_n^2 \right)\left( \sum_{n=1}^{n}b_n^2 \right) \geq \left( \sum_{n=1}^{n}a_nb_n \right)^2$。
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