东京大学数学系考研试题，以其严谨的学术风格和深度的考察内容著称。考生需具备扎实的数学基础和良好的逻辑思维能力。以下是其中一道试题的原创解答：
题目：设函数 \( f(x) = e^{x^2} \) 在区间 \([0, +\infty)\) 上连续，求证：对于任意 \( x > 0 \)，有 \( f(x) > x \)。
解答：
首先，我们构造辅助函数 \( g(x) = e^{x^2} - x \)，其中 \( x > 0 \)。
求 \( g(x) \) 的导数，得 \( g'(x) = 2xe^{x^2} - 1 \)。
当 \( x > 0 \) 时，\( e^{x^2} > 1 \)，因此 \( 2xe^{x^2} > 2x \)。
由此可知，\( g'(x) > 0 \)，即 \( g(x) \) 在 \( (0, +\infty) \) 上单调递增。
又因为 \( g(0) = e^{0^2} - 0 = 1 \)，所以对于任意 \( x > 0 \)，有 \( g(x) > g(0) = 1 \)。
因此，\( e^{x^2} > x \) 成立。
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