线性代数作为考研数学的重要组成部分，其计算题往往考查考生对矩阵运算、向量空间、特征值与特征向量等知识的掌握程度。以下是一道线性代数的计算题示例：
题目：设矩阵 \( A = \begin{bmatrix} 1 & 2 \\ 3 & 4 \end{bmatrix} \)，求矩阵 \( A \) 的特征值和特征向量。
解题步骤如下：
1. 求特征值：设矩阵 \( A \) 的特征值为 \( \lambda \)，则有特征方程 \( \det(A - \lambda I) = 0 \)，即 \( \det \begin{bmatrix} 1-\lambda & 2 \\ 3 & 4-\lambda \end{bmatrix} = 0 \)。
2. 解特征方程：计算行列式，得 \( (1-\lambda)(4-\lambda) - 6 = 0 \)，化简得 \( \lambda^2 - 5\lambda + 2 = 0 \)。
3. 求解特征值：解上述一元二次方程，得 \( \lambda_1 = 2 \)，\( \lambda_2 = 3 \)。
4. 求特征向量：对 \( \lambda_1 = 2 \) 和 \( \lambda_2 = 3 \) 分别求对应的特征向量。
- 当 \( \lambda_1 = 2 \) 时，解方程组 \( (A - 2I)x = 0 \)，得特征向量 \( x_1 = \begin{bmatrix} 1 \\ -1 \end{bmatrix} \)。
- 当 \( \lambda_2 = 3 \) 时，解方程组 \( (A - 3I)x = 0 \)，得特征向量 \( x_2 = \begin{bmatrix} 1 \\ 1 \end{bmatrix} \)。
综上，矩阵 \( A \) 的特征值为 \( 2 \) 和 \( 3 \)，对应的特征向量分别为 \( \begin{bmatrix} 1 \\ -1 \end{bmatrix} \) 和 \( \begin{bmatrix} 1 \\ 1 \end{bmatrix} \)。
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