09年考研数学二第20题：已知函数$f(x) = \ln x - x^2 + 1$，其中$x > 0$。求证：对于任意$x > 0$，有$f(x) > 0$。
证明：
首先，对$f(x)$求导得$f'(x) = \frac{1}{x} - 2x$。
当$x = \frac{1}{2}$时，$f'(x) = 0$，此时$f(x)$取得极小值。
当$0 < x < \frac{1}{2}$时，$f'(x) > 0$，此时$f(x)$单调递增。
当$x > \frac{1}{2}$时，$f'(x) < 0$，此时$f(x)$单调递减。
因此，$f(x)$在$x = \frac{1}{2}$时取得极小值，也是最小值。将$x = \frac{1}{2}$代入$f(x)$得$f(\frac{1}{2}) = \ln \frac{1}{2} - \frac{1}{4} + 1 = 1 - \ln 2 - \frac{1}{4} > 0$。
所以，对于任意$x > 0$，有$f(x) > 0$。
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