吉首大学数学分析考研题解析如下：
1. 极限问题：设函数$f(x) = \frac{x^2 - 1}{x - 1}$，求$\lim_{x \to 1} f(x)$。
解析：利用因式分解和洛必达法则，得$\lim_{x \to 1} f(x) = \lim_{x \to 1} \frac{(x + 1)(x - 1)}{x - 1} = \lim_{x \to 1} (x + 1) = 2$。
2. 级数收敛性：讨论级数$\sum_{n=1}^\infty \frac{1}{n^2}$的收敛性。
解析：根据p-级数收敛定理，当$p > 1$时，级数$\sum_{n=1}^\infty \frac{1}{n^p}$收敛。由于$p = 2 > 1$，故级数$\sum_{n=1}^\infty \frac{1}{n^2}$收敛。
3. 微分方程：求解微分方程$\frac{dy}{dx} = \frac{1 + y^2}{x}$。
解析：令$y = \tan u$，则$\frac{dy}{dx} = \sec^2 u \cdot \frac{du}{dx}$。代入原方程，得$\sec^2 u \cdot \frac{du}{dx} = \frac{1 + \tan^2 u}{x} = \frac{1 + y^2}{x}$。化简得$\frac{du}{dx} = \frac{1}{x}$，积分得$u = \ln |x| + C$。回代$y = \tan u$，得$y = \tan(\ln |x| + C)$。
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