1. 已知函数 \( f(x) = e^{x^2} \)，求 \( f''(x) \)。
2. 设 \( A = \begin{bmatrix} 1 & 2 \\ 3 & 4 \end{bmatrix} \)，求 \( A \) 的特征值和特征向量。
3. 若 \( \lim_{x \to 0} \frac{\sin 2x - x}{x^3} = \frac{1}{3} \)，求 \( \lim_{x \to 0} \frac{\sin 3x - 3x}{x^3} \)。
4. 已知 \( \int_0^1 (x^2 + 2x + 1) \, dx = 2 \)，求 \( \int_0^1 (x^3 + 3x^2 + 3x + 1) \, dx \)。
5. 设 \( y = \ln(\sin x) \)，求 \( y' \)。
6. 解微分方程 \( y'' - 2y' + 2y = e^x \)。
7. 已知 \( x^2 + y^2 = 1 \)，求 \( \frac{dy}{dx} \)。
8. 设 \( \lim_{x \to \infty} \frac{\sqrt{x^2 + 1} - x}{\sqrt{x^2 - 1} + x} = 1 \)，求 \( \lim_{x \to \infty} \frac{\sqrt{x^2 + 1} + x}{\sqrt{x^2 - 1} - x} \)。
9. 已知 \( \int_0^{\frac{\pi}{2}} \sin^2 x \, dx = \frac{\pi}{4} \)，求 \( \int_0^{\frac{\pi}{2}} \cos^2 x \, dx \)。
10. 设 \( \lim_{x \to 0} \frac{\tan x - x}{x^3} = \frac{1}{3} \)，求 \( \lim_{x \to 0} \frac{\sin x - x}{x^3} \)。
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