在兰州大学数学一考研试题中，考生需面对的是一系列涵盖高等数学、线性代数和概率论与数理统计的高难度题目。这些试题不仅考察了考生对基础知识的掌握程度，还要求考生具备较强的逻辑思维和问题解决能力。以下是其中一道典型试题的解析：
【试题】设函数$f(x) = \frac{1}{x} + \ln x$，其中$x > 0$，求$f(x)$在区间$[1, e]$上的最大值和最小值。
【解析】首先，求出$f(x)$的导数$f'(x)$：
$$f'(x) = -\frac{1}{x^2} + \frac{1}{x} = \frac{x - 1}{x^2}.$$
令$f'(x) = 0$，解得$x = 1$。又因为当$x \in (0, 1)$时，$f'(x) < 0$；当$x \in (1, +\infty)$时，$f'(x) > 0$，所以$x = 1$是$f(x)$在区间$[1, e]$上的唯一驻点。
计算$f(1) = 1 + \ln 1 = 1$，$f(e) = \frac{1}{e} + \ln e = \frac{1}{e} + 1$。比较$f(1)$和$f(e)$，可知$f(x)$在区间$[1, e]$上的最大值为$\frac{1}{e} + 1$，最小值为$1$。
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