1. 设函数 \( f(x) = e^x \sin x \)，证明在区间 \([0, \pi]\) 上，存在唯一的 \( x_0 \) 使得 \( f'(x_0) = 0 \)，并求出 \( x_0 \) 的值。
2. 已知线性方程组
\[
\begin{cases}
x + 2y - z = 3 \\
2x + y + 3z = 8 \\
3x + 4y + 5z = 14
\end{cases}
\]
求该方程组的通解。
3. 设 \( A \) 为 \( n \times n \) 矩阵，且 \( A^2 = A \)，证明 \( A \) 的特征值只能为 0 或 1。
4. 已知 \( f(x) \) 在区间 \([0, 1]\) 上连续，在 \((0, 1)\) 内可导，且 \( f(0) = 0 \)，\( f(1) = 1 \)。若 \( \int_0^1 f(x) \, dx = \frac{1}{2} \)，证明存在 \( \xi \in (0, 1) \) 使得 \( f'(\xi) = 1 \)。
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