考研数学一题目精讲如下：
【题目】设函数 \( f(x) = x^3 - 6x^2 + 9x + 1 \)，求 \( f(x) \) 的极值点。
【解题过程】
1. 首先对函数 \( f(x) \) 求导，得到 \( f'(x) = 3x^2 - 12x + 9 \)。
2. 令 \( f'(x) = 0 \)，解得 \( x = 1 \) 或 \( x = 3 \)。
3. 对 \( f'(x) \) 再次求导，得到 \( f''(x) = 6x - 12 \)。
4. 代入 \( x = 1 \) 和 \( x = 3 \) 到 \( f''(x) \) 中，得 \( f''(1) = -6 \) 和 \( f''(3) = 6 \)。
5. 由于 \( f''(1) < 0 \)，故 \( x = 1 \) 是极大值点；由于 \( f''(3) > 0 \)，故 \( x = 3 \) 是极小值点。
6. 计算极值，\( f(1) = 1^3 - 6 \times 1^2 + 9 \times 1 + 1 = 5 \)，\( f(3) = 3^3 - 6 \times 3^2 + 9 \times 3 + 1 = -8 \)。
【答案】函数 \( f(x) \) 的极大值点为 \( x = 1 \)，极大值为 5；极小值点为 \( x = 3 \)，极小值为 -8。
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