在高等数学冲刺考研的征途中，掌握真题答案的精髓至关重要。以下是对几道典型真题的解答解析：
1. 真题一：求函数$f(x) = x^3 - 3x + 1$在区间$[-1, 2]$上的最大值和最小值。
解答：首先求导数$f'(x) = 3x^2 - 3$，令$f'(x) = 0$，解得$x = \pm 1$。再求二阶导数$f''(x) = 6x$，代入$x = -1$和$x = 1$，得$f''(-1) = -6 < 0$，$f''(1) = 6 > 0$。因此，$x = -1$是极大值点，$x = 1$是极小值点。计算$f(-1) = -3$，$f(1) = -1$，$f(2) = 3$，故最大值为3，最小值为-3。
2. 真题二：求极限$\lim_{x \to 0} \frac{\sin x}{x}$。
解答：利用洛必达法则，求导数得$\lim_{x \to 0} \frac{\cos x}{1} = 1$。
3. 真题三：设$a > 0$，证明：$\int_0^1 \frac{1}{\sqrt{a^2-x^2}} \, dx \geq \frac{\pi}{4}$。
解答：令$y = \sqrt{a^2-x^2}$，则$x = \sqrt{a^2-y^2}$，$dx = -\frac{y}{\sqrt{a^2-y^2}} \, dy$。代入原式得$\int_0^a \frac{y}{\sqrt{a^2-y^2}} \, dy$。令$t = \frac{y}{a}$，则$dy = a \, dt$，代入得$\int_0^1 \frac{t}{\sqrt{1-t^2}} \, dt$。令$u = 1-t^2$，则$dt = -\frac{1}{2\sqrt{u}} \, du$，代入得$\int_1^0 \frac{1}{\sqrt{u}} \, du = \int_0^1 \frac{1}{\sqrt{u}} \, du$。由基本不等式得$\int_0^1 \frac{1}{\sqrt{u}} \, du \geq \frac{\pi}{4}$。
以上是对几道典型高等数学考研真题的解答解析。要想在考研中取得好成绩，除了掌握解题方法，还需要大量的练习。推荐使用微信考研刷题小程序：【考研刷题通】，涵盖政治、英语、数学等全部考研科目，助你轻松备战考研！【考研刷题通】