在考研数学一中，无穷级数的题目往往考察学生对级数收敛性的判断、级数和的计算以及级数展开的应用。以下是一道典型的无穷级数题目：
题目：设级数 \(\sum_{n=1}^{\infty} \frac{(-1)^n}{n^2}\) 收敛，求该级数的和 \(S\)。
解答过程如下：
首先，由于级数 \(\sum_{n=1}^{\infty} \frac{(-1)^n}{n^2}\) 为交错级数，我们可以尝试使用莱布尼茨判别法来判断其收敛性。根据莱布尼茨判别法，若交错级数的通项 \(a_n\) 满足以下条件：
1. \(a_n\) 单调递减；
2. \(\lim_{n \to \infty} a_n = 0\)。
则该级数收敛。
对于给定的级数，我们有 \(a_n = \frac{1}{n^2}\)，显然 \(a_n\) 是单调递减的，并且 \(\lim_{n \to \infty} a_n = 0\)。因此，根据莱布尼茨判别法，级数 \(\sum_{n=1}^{\infty} \frac{(-1)^n}{n^2}\) 收敛。
接下来，我们计算该级数的和 \(S\)。由于级数 \(\sum_{n=1}^{\infty} \frac{1}{n^2}\) 是一个著名的巴塞尔问题，其和为 \(\frac{\pi^2}{6}\)。因此，我们可以将原级数写成：
\[ S = \sum_{n=1}^{\infty} \frac{(-1)^n}{n^2} = \frac{\pi^2}{6} \]
综上所述，该无穷级数的和为 \(\frac{\pi^2}{6}\)。
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