考研数学笔记6题的解答如下：
1. 题目一：已知函数$f(x) = x^3 - 3x + 1$，求$f'(x)$。
解答：对$f(x)$求导，得$f'(x) = 3x^2 - 3$。
2. 题目二：求极限$\lim_{x \to 0} \frac{\sin x}{x}$。
解答：利用洛必达法则，$\lim_{x \to 0} \frac{\sin x}{x} = \lim_{x \to 0} \frac{\cos x}{1} = 1$。
3. 题目三：设$A=\begin{bmatrix} 1 & 2 \\ 3 & 4 \end{bmatrix}$，求$A^{-1}$。
解答：计算$A$的行列式$|A| = 1 \times 4 - 2 \times 3 = -2$，然后求逆矩阵$A^{-1} = \frac{1}{-2}\begin{bmatrix} 4 & -2 \\ -3 & 1 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} -2 & 1 \\ \frac{3}{2} & -\frac{1}{2} \end{bmatrix}$。
4. 题目四：求级数$\sum_{n=1}^{\infty} \frac{1}{n^2}$的收敛半径。
解答：使用比值法则，$\lim_{n \to \infty} \left|\frac{u_{n+1}}{u_n}\right| = \lim_{n \to \infty} \left|\frac{1}{(n+1)^2} \cdot \frac{n^2}{1}\right| = 1$，因此收敛半径$R = 1$。
5. 题目五：设$z = x + yi$，其中$x, y \in \mathbb{R}$，求$\frac{\partial z}{\partial x}$和$\frac{\partial z}{\partial y}$。
解答：$\frac{\partial z}{\partial x} = 1$，$\frac{\partial z}{\partial y} = i$。
6. 题目六：计算定积分$\int_0^{\pi} x^2 \sin x \, dx$。
解答：使用分部积分法，设$u = x^2$，$dv = \sin x \, dx$，则$du = 2x \, dx$，$v = -\cos x$。应用分部积分公式，得$\int x^2 \sin x \, dx = -x^2 \cos x + 2 \int x \cos x \, dx$。再次使用分部积分，最终计算得$\int_0^{\pi} x^2 \sin x \, dx = 2$。
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