考研数学二现代证明题主要考查考生的逻辑思维能力和数学证明技巧。以下是一道典型题目：
题目：设函数$f(x) = x^3 - 3x + 2$，证明：对于任意实数$x$，有$f(x) \geq 2$。
证明：首先，求函数$f(x)$的导数，得$f'(x) = 3x^2 - 3$。
令$f'(x) = 0$，解得$x = \pm 1$。因此，函数$f(x)$在$x = -1$和$x = 1$处取得极值。
接下来，分别计算$f(-1)$和$f(1)$的值。得$f(-1) = (-1)^3 - 3(-1) + 2 = 4$，$f(1) = 1^3 - 3 \times 1 + 2 = 0$。
由于$f(x)$是一个三次函数，其图像在$x = -1$和$x = 1$处分别取得极小值和极大值。因此，对于任意实数$x$，有$f(x) \geq f(1) = 0$。
又因为$f(x) = x^3 - 3x + 2 = (x - 1)^3 + 1$，所以当$x \neq 1$时，$(x - 1)^3 \geq 0$，从而$f(x) \geq 1$。
综合以上结论，可得对于任意实数$x$，有$f(x) \geq 2$。
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