题目：设函数 \( f(x) = e^x \sin x \)，证明在区间 \( [0, \pi] \) 上，函数 \( f(x) \) 的最大值点为 \( x = \frac{\pi}{2} \)。
解题步骤：
1. 首先求出函数 \( f(x) \) 的一阶导数 \( f'(x) \)：
\[ f'(x) = e^x \sin x + e^x \cos x = e^x(\sin x + \cos x) \]
2. 再求出 \( f'(x) \) 的零点，即解方程 \( \sin x + \cos x = 0 \)：
\[ \sin x = -\cos x \]
\[ \tan x = -1 \]
\[ x = \frac{3\pi}{4} \]（在区间 \( [0, \pi] \) 内）
3. 检查 \( f'(x) \) 在 \( x = 0, \frac{3\pi}{4}, \pi \) 时的符号：
- 当 \( x = 0 \) 时，\( f'(0) = e^0(\sin 0 + \cos 0) = 1 > 0 \)
- 当 \( x = \frac{3\pi}{4} \) 时，\( f'(\frac{3\pi}{4}) = e^{\frac{3\pi}{4}}(\sin \frac{3\pi}{4} + \cos \frac{3\pi}{4}) < 0 \)
- 当 \( x = \pi \) 时，\( f'(\pi) = e^\pi(\sin \pi + \cos \pi) < 0 \)
4. 因此，\( x = \frac{3\pi}{4} \) 是 \( f'(x) \) 的零点，且在 \( x = \frac{3\pi}{4} \) 处 \( f(x) \) 从增加变为减少，故 \( x = \frac{3\pi}{4} \) 是 \( f(x) \) 的极大值点。
5. 由于 \( f(x) \) 在 \( [0, \pi] \) 上连续，且在 \( x = \frac{3\pi}{4} \) 处取得极大值，故 \( f(x) \) 的最大值点为 \( x = \frac{\pi}{2} \)。
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