在浙江大学考研数学二中，试题往往以综合性、难度较高著称。以下是一份原创的模拟试题，旨在模拟真实考试的难度和风格：
浙江大学考研数学二试题
一、选择题（每题5分，共20分）
1. 设函数 \( f(x) = x^3 - 3x + 1 \)，则 \( f(x) \) 的极值点为：
A. \( x = -1 \)
B. \( x = 1 \)
C. \( x = -\frac{1}{2} \)
D. \( x = \frac{1}{2} \)
2. 设 \( A \) 为 \( n \) 阶可逆矩阵，\( B \) 为 \( n \) 阶非可逆矩阵，则 \( AB \) 的行列式为：
A. \( 0 \)
B. \( \neq 0 \)
C. \( |A| \)
D. \( |B| \)
3. 设 \( \int_0^1 x^2 \, dx = \int_0^1 f(x) \, dx \)，则 \( f(1) \) 等于：
A. 1
B. 0
C. \(\frac{1}{2}\)
D. \(\frac{1}{3}\)
4. 设 \( \lim_{x \to 0} \frac{\sin x}{x} = 1 \)，则 \( \lim_{x \to 0} \frac{\sin 2x}{x} \) 等于：
A. 2
B. 1
C. 0
D. 不存在
5. 设 \( y = e^{2x} \)，则 \( y' \) 等于：
A. \( 2e^{2x} \)
B. \( e^{2x} \)
C. \( e^{-2x} \)
D. \( 2e^{-2x} \)
二、填空题（每题5分，共20分）
1. \( \int \frac{1}{x^2 - 1} \, dx = \)
2. 设 \( A \) 为 \( 3 \times 3 \) 矩阵，\( \text{det}(A) = 0 \)，则 \( A \) 的秩为：
3. 若 \( \lim_{x \to 0} \frac{\sin x}{x} = 1 \)，则 \( \lim_{x \to 0} \frac{\sin 3x}{3x} = \)
4. \( \int_0^{\frac{\pi}{2}} \sin^2 x \, dx = \)
5. 设 \( y = \ln(1 + x^2) \)，则 \( y' \) 等于：
三、解答题（每题20分，共60分）
1. 求解微分方程 \( y'' - 4y' + 4y = e^{2x} \)。
2. 设 \( A \) 为 \( 3 \times 3 \) 矩阵，\( \text{det}(A) = 1 \)，求 \( \text{det}(A^{-1}) \)。
3. 求函数 \( f(x) = x^3 - 3x + 1 \) 在区间 \([-1, 1]\) 上的最大值和最小值。
4. 设 \( f(x) = x^2 e^x \)，求 \( f'(x) \) 和 \( f''(x) \)。
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