在考研数学中，不定积分题是历年考试中的高频考点。这类题目主要考查考生对积分运算的掌握程度，包括基本积分公式、换元积分法、分部积分法等。以下是一道典型的考研数学不定积分题目：
题目：求不定积分 $\int \frac{x^3}{\sqrt{x^2-4}} \, dx$。
解答：首先，我们可以通过换元法简化积分式。设 $u = x^2 - 4$，则 $du = 2x \, dx$，即 $dx = \frac{du}{2x}$。将 $x^3$ 和 $dx$ 代入原积分式，得到：
$$
\int \frac{x^3}{\sqrt{x^2-4}} \, dx = \int \frac{x^2 \cdot x}{\sqrt{x^2-4}} \, dx = \frac{1}{2} \int \frac{u+4}{\sqrt{u}} \, du
$$
接下来，对上式进行分部积分。设 $v = \sqrt{u}$，则 $dv = \frac{1}{2\sqrt{u}} \, du$。将 $u$ 和 $dv$ 代入上式，得到：
$$
\frac{1}{2} \int \frac{u+4}{\sqrt{u}} \, du = \frac{1}{2} \left( \int u \, dv + \int 4 \, dv \right) = \frac{1}{2} \left( uv - \int v \, du \right)
$$
将 $u$、$v$ 和 $du$ 的表达式代入上式，得到：
$$
\frac{1}{2} \left( \sqrt{u} \cdot 2\sqrt{u} - \int \sqrt{u} \cdot \frac{1}{2\sqrt{u}} \, du \right) = u - \int 1 \, du = u - u + C = C
$$
最后，将 $u = x^2 - 4$ 代入上式，得到原积分的解为 $C = x^2 - 4 + C$。
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