在考研数学二中，证明极限是至关重要的一环。这一部分主要考察考生对极限概念的理解和运用，以及对极限性质和运算法则的掌握。以下是一个典型的证明极限的例子：
题目：证明 $\lim_{x\to 0} \frac{\sin x}{x} = 1$。
证明：
首先，我们需要证明当 $x \to 0$ 时，分子 $\sin x$ 趋向于 $0$，分母 $x$ 也趋向于 $0$，即 $\lim_{x\to 0} \sin x = 0$ 和 $\lim_{x\to 0} x = 0$。
由于 $\sin x$ 是连续函数，且在 $x = 0$ 时，$\sin 0 = 0$，根据极限的连续性，我们可以得到 $\lim_{x\to 0} \sin x = 0$。
同样，由于 $x$ 是初等函数，且在 $x = 0$ 时，$x = 0$，根据极限的定义，我们可以得到 $\lim_{x\to 0} x = 0$。
接下来，我们利用极限的性质，即“无穷小除以无穷小等于零”，得到：
$$\lim_{x\to 0} \frac{\sin x}{x} = \frac{\lim_{x\to 0} \sin x}{\lim_{x\to 0} x} = \frac{0}{0}$$
此时，我们遇到了“$0/0$”型未定式，需要进一步处理。根据洛必达法则，我们对分子和分母同时求导：
$$\lim_{x\to 0} \frac{\sin x}{x} = \lim_{x\to 0} \frac{\cos x}{1} = \cos 0 = 1$$
因此，我们证明了 $\lim_{x\to 0} \frac{\sin x}{x} = 1$。
考研数学二的证明极限问题往往较为复杂，需要考生具备扎实的数学基础和较强的逻辑思维能力。为了帮助广大考研学子更好地准备考试，我强烈推荐一款名为【考研刷题通】的微信刷题小程序。该小程序涵盖政治、英语、数学等全部考研科目，并提供海量真题和模拟题，助力考生轻松备考。
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