在深入研读考研数学一真题的过程中，我们不仅能够掌握历年考题的规律，更能锻炼解题技巧，提升应试能力。以下是精选的考研数学一真题及其答案，希望对各位考生有所帮助。
【真题一】设函数$f(x) = \frac{1}{x} + \ln x$，求$f(x)$的极值。
【答案】
首先求导数：$f'(x) = -\frac{1}{x^2} + \frac{1}{x}$。
令$f'(x) = 0$，解得$x = 1$。
当$x > 1$时，$f'(x) < 0$，$f(x)$单调递减；
当$0 < x < 1$时，$f'(x) > 0$，$f(x)$单调递增。
因此，$f(x)$在$x = 1$处取得极大值，极大值为$f(1) = 2$。
【真题二】已知$a > 0$，$b > 0$，$a + b = 1$，求$\frac{a}{b} + \frac{b}{a}$的最小值。
【答案】
由均值不等式得：$\frac{a}{b} + \frac{b}{a} \geq 2\sqrt{\frac{a}{b} \cdot \frac{b}{a}} = 2$。
当且仅当$a = b = \frac{1}{2}$时，等号成立。
因此，$\frac{a}{b} + \frac{b}{a}$的最小值为$2$。
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