在武忠祥教授的高等数学考研辅导中，有一道经典例题如下：
题目：设函数 \( f(x) = \frac{1}{1+x^2} \)，求 \( f^{(4)}(0) \)。
解题思路：首先，观察函数 \( f(x) \) 的性质，发现它是一个偶函数。接着，利用泰勒公式展开 \( f(x) \) 在 \( x = 0 \) 处的四周，即 \( f(x) = f(0) + f'(0)x + \frac{f''(0)}{2!}x^2 + \frac{f'''(0)}{3!}x^3 + \frac{f^{(4)}(0)}{4!}x^4 + \cdots \)。由于 \( f(x) \) 是偶函数，其奇数阶导数在 \( x = 0 \) 处均为0，因此 \( f'(0) = f'''(0) = 0 \)。再由 \( f''(0) = \frac{d^2}{dx^2}\left(\frac{1}{1+x^2}\right)\bigg|_{x=0} = -\frac{2}{(1+x^2)^2}\bigg|_{x=0} = -2 \)。最后，将 \( f(x) \) 的泰勒展开式与 \( f(x) \) 的定义式对比，得到 \( f^{(4)}(0) = \frac{24}{4!} = 3 \)。
答案：\( f^{(4)}(0) = 3 \)。
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