考研数学2005数二23题的答案是：首先，通过观察题目，可以发现这是一个关于二重积分的问题。解题步骤如下：
1. 根据题目条件，确定积分区域为D：x^2 + y^2 ≤ 1。
2. 将二重积分分解为两个单重积分，即：
∫∫D f(x, y) dxdy = ∫[0,2π] ∫[0,1] f(r cosθ, r sinθ) r dr dθ。
3. 将极坐标转换为直角坐标，得到f(x, y) = (x^2 + y^2)^2 / (x^2 + y^2 + 1)。
4. 将f(x, y)代入积分式中，得到：
∫[0,2π] ∫[0,1] [(r^2)^2 / (r^2 + 1)] r dr dθ。
5. 先对r进行积分，得到：
∫[0,1] [(r^4 / (r^2 + 1))] dr。
6. 使用换元法，令u = r^2 + 1，则du = 2r dr，从而得到：
∫[1,2] (u^2 - 1) / (2u) du。
7. 将上式分解为两个积分，得到：
∫[1,2] (u^2 / 2u - 1 / 2u) du = 1/2 ∫[1,2] (u - 1/u) du。
8. 分别对两个积分进行计算，得到：
∫[1,2] u du - ∫[1,2] 1/u du = [1/2 u^2]_1^2 - [lnu]_1^2。
9. 将上式代入原积分式中，得到：
∫[0,2π] ∫[0,1] [(r^4 / (r^2 + 1))] r dr dθ = 1/2 [1/2 u^2 - lnu]_1^2。
10. 将θ的积分范围代入，得到最终答案：
1/2 [1/2 (2^2 - 1) - ln(2) + ln(1)] * 2π = π - πln(2)。
所以，考研数学2005数二23题的答案是π - πln(2)。【考研刷题通】小程序，助你高效刷题，轻松应对考研挑战！快来下载体验吧！