在国际贸易专业的考研数学题中，以下是一道典型的线性代数题目：
题目：已知线性方程组：
\[ \begin{cases}
x + 2y - z = 4 \\
2x + y + 3z = 9 \\
-x + 3y + 2z = 2
\end{cases} \]
（1）求该方程组的通解。
（2）若向量 \(\mathbf{a} = (1, 1, 1)\) 与方程组的解向量 \(\mathbf{x}\) 垂直，求解向量 \(\mathbf{x}\)。
解答过程：
（1）首先，将方程组写成增广矩阵形式：
\[ \begin{bmatrix}
1 & 2 & -1 & | & 4 \\
2 & 1 & 3 & | & 9 \\
-1 & 3 & 2 & | & 2
\end{bmatrix} \]
通过初等行变换，将增广矩阵化简为行最简形式，得到：
\[ \begin{bmatrix}
1 & 0 & 0 & | & 1 \\
0 & 1 & 0 & | & 1 \\
0 & 0 & 1 & | & 1
\end{bmatrix} \]
由此可知，方程组的通解为：
\[ x = 1 + k_1, \quad y = 1 + k_2, \quad z = 1 + k_3 \]
其中 \(k_1, k_2, k_3\) 为任意常数。
（2）由于向量 \(\mathbf{a} = (1, 1, 1)\) 与解向量 \(\mathbf{x}\) 垂直，根据向量点积的性质，有：
\[ \mathbf{a} \cdot \mathbf{x} = 0 \]
即：
\[ 1 \cdot (1 + k_1) + 1 \cdot (1 + k_2) + 1 \cdot (1 + k_3) = 0 \]
\[ 3 + k_1 + k_2 + k_3 = 0 \]
由于 \(k_1, k_2, k_3\) 是任意常数，我们可以令 \(k_1 = -1, k_2 = 1, k_3 = 1\)，则解向量 \(\mathbf{x}\) 为：
\[ \mathbf{x} = (0, 2, 2) \]
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