在本次23考研数学的第五题中，考生需要解决的是一个涉及多元函数极值问题的应用题。题目描述了一个工厂生产某种产品的成本函数，其中成本与产量、原材料价格及加工时间等因素相关。要求考生通过计算，找出使得总成本最小的最优产量，并给出相应的最小成本。
具体解题步骤如下：
1. 建立成本函数：根据题目描述，建立总成本函数C(x) = f(x) + g(x)，其中f(x)代表固定成本，g(x)代表可变成本。
2. 求偏导数：对成本函数C(x)分别对x求一阶偏导数，得到C_x'(x)。
3. 求驻点：令C_x'(x) = 0，解得驻点x0。
4. 求二阶偏导数：对C(x)分别对x求二阶偏导数，得到C_xx''(x)。
5. 判断极值：计算Hessian矩阵的行列式D = C_xx''(x0) * C_yy''(x0) - (C_xy''(x0))^2，判断D的符号。
- 如果D > 0且C_xx''(x0) > 0，则x0为局部最小值点。
- 如果D > 0且C_xx''(x0) < 0，则x0为局部最大值点。
- 如果D ≤ 0，则x0不是极值点。
6. 计算最小成本：将x0代入成本函数C(x)，得到最小成本C_min。
通过以上步骤，考生可以求出最优产量及对应的最小成本。
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