在考研复试中，离散数学的证明题通常考察考生对基本概念的理解和应用能力。以下是一个原创的离散数学证明题示例：
题目：设集合A={1, 2, 3, ..., n}，证明对于任意正整数k（1 ≤ k ≤ n），存在一个子集B⊆A，使得B中任意两个不同的元素之和均不等于k。
证明：
1. 基础情形：当n=1时，集合A={1}，显然不存在满足条件的子集B，因为k至少为2。此情形成立。
2. 归纳假设：假设对于任意集合A={1, 2, 3, ..., n}，都存在满足条件的子集B。
3. 归纳步骤：考虑集合A={1, 2, 3, ..., n+1}。
- 若k=1，则子集B可以取为A本身。
- 若k > 1，我们从集合A中去掉元素n+1，得到集合A'={1, 2, 3, ..., n}。
- 根据归纳假设，存在一个子集B'⊆A'，使得B'中任意两个不同的元素之和均不等于k。
- 若k > n+1，则k-1 < n，根据归纳假设，存在子集B'⊆A'，使得B'中任意两个不同的元素之和均不等于k-1。
- 由于n+1不在B'中，添加n+1到B'中，新的子集B = B' ∪ {n+1}满足条件，因为B中任意两个不同的元素之和均不等于k。
由数学归纳法，对于任意正整数k（1 ≤ k ≤ n），存在一个子集B⊆A，使得B中任意两个不同的元素之和均不等于k。
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