线性代数在考研数学中占据重要地位，以下是一道典型的线性代数例题：
例题：设矩阵 \( A = \begin{bmatrix} 1 & 2 \\ 3 & 4 \end{bmatrix} \)，求矩阵 \( A \) 的特征值和特征向量。
解答：
1. 求特征值：设 \( \lambda \) 为矩阵 \( A \) 的特征值，则有
\[
\det(A - \lambda I) = \det \begin{bmatrix} 1-\lambda & 2 \\ 3 & 4-\lambda \end{bmatrix} = (1-\lambda)(4-\lambda) - 6 = \lambda^2 - 5\lambda - 2 = 0
\]
解得 \( \lambda_1 = -1 \)，\( \lambda_2 = 2 \)。
2. 求特征向量：
- 对于 \( \lambda_1 = -1 \)，解方程组
\[
(A + I)x = 0 \Rightarrow \begin{bmatrix} 2 & 2 \\ 3 & 3 \end{bmatrix} \begin{bmatrix} x_1 \\ x_2 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 0 \\ 0 \end{bmatrix}
\]
解得特征向量 \( x_1 = \begin{bmatrix} 1 \\ -1 \end{bmatrix} \)。
- 对于 \( \lambda_2 = 2 \)，解方程组
\[
(A - 2I)x = 0 \Rightarrow \begin{bmatrix} -1 & 2 \\ 3 & -2 \end{bmatrix} \begin{bmatrix} x_1 \\ x_2 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 0 \\ 0 \end{bmatrix}
\]
解得特征向量 \( x_2 = \begin{bmatrix} 2 \\ 1 \end{bmatrix} \)。
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