今日考研数学一题：若函数$f(x) = \ln(1+x) + ax^2$在$x=1$处可导，求常数$a$的值。
解答思路：首先，我们需要确保函数在$x=1$处有定义，即$1+x > 0$，因此$x > -1$。接着，求函数的导数，利用对数函数和多项式函数的导数规则，得到$f'(x) = \frac{1}{1+x} + 2ax$。根据题意，$f(x)$在$x=1$处可导，因此$f'(1)$存在，代入$x=1$，我们有$\frac{1}{2} + 2a$存在。
接下来，求解$a$。因为导数在$x=1$处存在，说明函数在$x=1$处连续，所以$f(1)$存在。由题意知$f(x)$在$x=1$处可导，则$f(x)$在$x=1$处连续，即$\lim_{x \to 1} f(x) = f(1)$。将$f(x)$和$f'(x)$的表达式代入，得$\lim_{x \to 1} (\ln(1+x) + ax^2) = \ln(2) + a$。
现在有两个关于$a$的方程：
1. $\frac{1}{2} + 2a$存在。
2. $\ln(2) + a = \lim_{x \to 1} (\ln(1+x) + ax^2)$。
通过第二个方程可以解得$a$的值。由$\ln(2) = \lim_{x \to 1} \ln(1+x)$，代入第二个方程得$\ln(2) + a = \ln(2) + a$，解得$a = 0$。
所以，常数$a$的值为0。
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