今日考研数学一题：设函数\( f(x) = \frac{1}{x} + \ln(x) \)，求函数\( f(x) \)的极值。
解题思路：首先，求出函数\( f(x) \)的一阶导数\( f'(x) \)，然后令\( f'(x) = 0 \)找出临界点。接着，通过计算二阶导数或判断一阶导数的符号变化来确定这些临界点是极大值点还是极小值点。
解答：\( f'(x) = -\frac{1}{x^2} + \frac{1}{x} \)，令\( f'(x) = 0 \)，得\( x = 1 \)。计算二阶导数\( f''(x) = \frac{2}{x^3} - \frac{1}{x^2} \)，代入\( x = 1 \)，得\( f''(1) = 1 - 1 = 0 \)。由于\( f''(x) \)在\( x = 1 \)两侧符号不变，且\( f''(1) = 0 \)，故\( x = 1 \)为\( f(x) \)的拐点，而非极值点。
进一步分析\( f'(x) \)的符号变化，当\( x > 1 \)时，\( f'(x) > 0 \)，函数单调递增；当\( 0 < x < 1 \)时，\( f'(x) < 0 \)，函数单调递减。因此，\( f(x) \)在\( x = 1 \)处取得极小值。
极小值为\( f(1) = \frac{1}{1} + \ln(1) = 1 + 0 = 1 \)。
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