在考研数学数二的第十三题中，考生需要解决的是一个关于多元函数极限的问题。题目如下：
已知函数 \( f(x, y) = \frac{x^2y + y^2x}{x^3 + y^3} \)，求 \(\lim_{(x, y) \to (0, 0)} f(x, y)\)。
解题思路如下：
1. 直接代入法：直接将 \( x = 0 \) 和 \( y = 0 \) 代入函数，得到 \( f(0, 0) = \frac{0^2 \cdot 0 + 0^2 \cdot 0}{0^3 + 0^3} \)，显然分母为零，这种情况下不能直接得出极限。
2. 极坐标转换法：将 \( x = r\cos\theta \) 和 \( y = r\sin\theta \) 代入函数，得到 \( f(r, \theta) = \frac{r^3\cos\theta\sin\theta + r^3\sin\theta\cos\theta}{r^3(\cos^3\theta + \sin^3\theta)} \)。
当 \( r \to 0 \) 时，分子和分母都趋近于零，此时可以使用洛必达法则或者夹逼定理来求解。
3. 洛必达法则：对分子和分母同时求偏导数，得到：
\[
\frac{d}{dr}(r^3\cos\theta\sin\theta + r^3\sin\theta\cos\theta) = 3r^2\cos\theta\sin\theta + 3r^2\sin\theta\cos\theta
\]
\[
\frac{d}{dr}(r^3(\cos^3\theta + \sin^3\theta)) = 3r^2(\cos^3\theta + \sin^3\theta)
\]
将 \( r = 0 \) 代入，分子和分母的导数都为零，再次使用洛必达法则，求二阶导数，最终得到极限为0。
通过以上步骤，我们可以得出 \(\lim_{(x, y) \to (0, 0)} f(x, y) = 0\)。
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