在探讨考研数学中的变限积分问题时，我们可以以以下一道题目为例进行解析：
题目：已知函数$f(x) = x^2e^x$，求定积分$\int_0^{\infty} f(x) \, dx$的值。
解题思路：此题属于变限积分问题，由于$f(x)$在$x=0$和$x=\infty$处均无界，因此我们需要对积分区间进行分段处理。
解题步骤：
1. 将积分区间分为$[0,1]$和$[1,\infty)$两部分，即$\int_0^{\infty} f(x) \, dx = \int_0^1 f(x) \, dx + \int_1^{\infty} f(x) \, dx$。
2. 对于$\int_0^1 f(x) \, dx$，由于$x^2e^x$在$[0,1]$上连续，可以直接计算得到$\int_0^1 x^2e^x \, dx$。
3. 对于$\int_1^{\infty} f(x) \, dx$，由于$x^2e^x$在$[1,\infty)$上无界，我们需要使用极限方法来计算。具体来说，计算$\lim_{t \to \infty} \int_1^t x^2e^x \, dx$。
最终答案：通过计算，我们可以得到$\int_0^{\infty} f(x) \, dx = \frac{1}{2}e + \frac{1}{2}e^2$。
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