题目：已知函数$f(x) = x^3 - 3x^2 + 4x + 1$，求$f(x)$的极值点。
解题过程：
首先，对函数$f(x)$求导，得到$f'(x) = 3x^2 - 6x + 4$。
然后，令$f'(x) = 0$，解得$x = 1$或$x = \frac{2}{3}$。
接下来，判断这两个点的极值情况。由于$f''(x) = 6x - 6$，当$x = 1$时，$f''(1) = 0$，无法判断极值情况；当$x = \frac{2}{3}$时，$f''(\frac{2}{3}) = 0$，同样无法判断极值情况。
因此，我们需要进一步分析。由于$f'(x)$在$x = 1$和$x = \frac{2}{3}$两侧的符号相反，即$f'(x)$在$x = 1$左侧为正，在$x = 1$右侧为负；$f'(x)$在$x = \frac{2}{3}$左侧为负，在$x = \frac{2}{3}$右侧为正。
所以，$x = 1$是$f(x)$的极大值点，$x = \frac{2}{3}$是$f(x)$的极小值点。
最后，计算极值。当$x = 1$时，$f(1) = 1^3 - 3 \times 1^2 + 4 \times 1 + 1 = 3$；当$x = \frac{2}{3}$时，$f(\frac{2}{3}) = (\frac{2}{3})^3 - 3 \times (\frac{2}{3})^2 + 4 \times \frac{2}{3} + 1 = \frac{7}{27}$。
综上，$f(x)$的极大值点为$x = 1$，极大值为$f(1) = 3$；极小值点为$x = \frac{2}{3}$，极小值为$f(\frac{2}{3}) = \frac{7}{27}$。
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