1. 请解释拉格朗日中值定理，并给出一个具体的应用例子。
2. 设函数$f(x) = e^{x^2}$，求$f'(x)$并说明其单调性。
3. 如果矩阵$A$是一个$n \times n$的上三角矩阵，证明$A$的特征值为$A$的对角线上的元素。
4. 讨论如何使用牛顿迭代法求解方程$x^3 - 4x + 5 = 0$。
5. 证明：若$\lim_{x \to 0} \frac{\sin x}{x} = 1$，则$\lim_{x \to 0} \frac{\tan x}{x} = 1$。
6. 设$f(x) = x^3 - 3x + 4$，求$f(x)$的导数$f'(x)$，并确定$f(x)$的极值点。
7. 解微分方程$\frac{dy}{dx} = y^2 + 1$，并说明解的性质。
8. 证明行列式$\begin{vmatrix} a & b \\ c & d \end{vmatrix} = ad - bc$。
9. 设$P(x) = (x-1)(x-2)(x-3)$，求$P'(x)$。
10. 讨论函数$f(x) = \frac{x^2 - 1}{x-1}$在$x=1$处的连续性和可导性。
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