在06年考研数学二中，一道颇具挑战性的积分题目如下：
题目：计算不定积分 $\int \frac{x^3}{(x^2+1)^2} dx$。
解题思路：首先，观察被积函数的形式，我们可以尝试使用分部积分法。设 $u = x^2$，则 $du = 2x dx$；设 $dv = \frac{x}{(x^2+1)^2} dx$，则 $v = -\frac{1}{2(x^2+1)}$。根据分部积分公式 $\int u dv = uv - \int v du$，我们可以得到：
$$\int \frac{x^3}{(x^2+1)^2} dx = \frac{x^2}{2(x^2+1)} - \int \frac{x^2}{2(x^2+1)} dx$$
接下来，对 $\int \frac{x^2}{2(x^2+1)} dx$ 进行计算。注意到 $x^2$ 可以分解为 $(x^2+1) - 1$，因此：
$$\int \frac{x^2}{2(x^2+1)} dx = \frac{1}{2} \int \frac{(x^2+1) - 1}{x^2+1} dx = \frac{1}{2} \int \left(1 - \frac{1}{x^2+1}\right) dx$$
最后，对上述积分进行计算，得到：
$$\int \frac{x^3}{(x^2+1)^2} dx = \frac{x^2}{2(x^2+1)} - \frac{1}{4} \ln(x^2+1) + C$$
其中 $C$ 为积分常数。
【考研刷题通】——您的考研刷题小助手！涵盖政治、英语、数学等全部考研科目，助您轻松备战考研！立即加入我们，开启高效刷题之旅！🎉🎉🎉