在考研数学第七章中，以下是一些关键公式汇总：
1. 行列式的基本性质：
- 行列式按行（或列）展开定理；
- 行列式的性质：行列互换，行列式的值不变；行（或列）扩大k倍，行列式的值也扩大k倍；两行（或两列）互换，行列式的值变号。
2. 克莱姆法则：
- 当系数行列式不为零时，方程组的解为：\(x_i = \frac{D_i}{D}\)，其中\(D_i\)是将系数行列式\(D\)的\(i\)列替换为方程组的常数项得到的行列式。
3. 逆矩阵的计算：
- 逆矩阵存在定理：若矩阵\(A\)可逆，则\(A^{-1}\)存在，且\(AA^{-1} = A^{-1}A = E\)；
- 逆矩阵的计算公式：\(A^{-1} = \frac{1}{|A|} \cdot \text{adj}(A)\)，其中\(\text{adj}(A)\)是\(A\)的伴随矩阵。
4. 矩阵的秩：
- 矩阵的秩等于其行（或列）向量组的秩；
- 矩阵\(A\)的秩\(r(A)\)满足：\(0 \leq r(A) \leq \min(m, n)\)，其中\(m\)和\(n\)分别是矩阵\(A\)的行数和列数。
5. 矩阵的秩与方程组的关系：
- 当矩阵\(A\)的秩等于其增广矩阵的秩时，方程组有唯一解；
- 当矩阵\(A\)的秩小于其增广矩阵的秩时，方程组无解；
- 当矩阵\(A\)的秩等于其增广矩阵的秩时，方程组有无穷多解。
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