台州学院数学分析考研试卷解析如下：
1. 选择题：
- 题目一：已知函数$f(x) = x^3 - 3x + 2$，求$f'(x)$。
- 解答：$f'(x) = 3x^2 - 3$。
- 题目二：设级数$\sum_{n=1}^{\infty} \frac{1}{n^2}$收敛，则级数$\sum_{n=1}^{\infty} \frac{1}{n^3}$也收敛。
- 解答：正确。
2. 填空题：
- 题目一：设$f(x) = x^2 + 2x + 1$，则$f(-1) = \_ $。
- 解答：0。
- 题目二：函数$f(x) = \frac{1}{x}$在点$x=1$处可导，则$f'(1) = \_ $。
- 解答：-1。
3. 解答题：
- 题目一：证明：若函数$f(x)$在区间$[a, b]$上连续，则存在$\xi \in (a, b)$，使得$f'(\xi) = \frac{f(b) - f(a)}{b - a}$。
- 解答：利用罗尔定理，构造辅助函数$F(x) = f(x) - \frac{f(b) - f(a)}{b - a}x$，证明$F(a) = F(b) = 0$，从而得出结论。
- 题目二：求函数$f(x) = x^3 - 6x^2 + 9x - 1$的极值。
- 解答：求导得$f'(x) = 3x^2 - 12x + 9$，令$f'(x) = 0$，解得$x = 1, 3$。当$x < 1$时，$f'(x) > 0$；当$1 < x < 3$时，$f'(x) < 0$；当$x > 3$时，$f'(x) > 0$。故$x = 1$为极大值点，$x = 3$为极小值点。
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