在探讨2025年考研数学一证明题时，我们应关注以下几个关键领域：函数极限、级数收敛性、多元函数偏导数、定积分以及微分方程。以下是一例原创证明题及解答：
证明题：
已知函数$f(x,y)=\frac{1}{1+x^2+y^2}$，证明：对于任意实数$x$和$y$，存在常数$M$，使得$\left|f(x,y)\right|\leq M$。
解答：
证明：首先，我们观察到$f(x,y)$在平面上的值域为$(0,1]$。接下来，我们考虑函数在原点$(0,0)$处的极限。
$$\lim_{(x,y)\to(0,0)}f(x,y)=\lim_{(x,y)\to(0,0)}\frac{1}{1+x^2+y^2}=1$$
由于$f(x,y)$在$(0,0)$处连续，根据连续函数的性质，存在$\delta>0$，使得当$\sqrt{x^2+y^2}<\delta$时，$\left|f(x,y)-1\right|<\frac{1}{2}$。
因此，对于任意实数$x$和$y$，当$\sqrt{x^2+y^2}<\delta$时，有：
$$\frac{1}{2} 由于$f(x,y)$的值域为$(0,1]$，故存在$M=\frac{3}{2}$，使得对于任意实数$x$和$y$，$\left|f(x,y)\right|\leq M$。 通过以上证明，我们证明了对于任意实数$x$和$y$，存在常数$M=\frac{3}{2}$，使得$\left|f(x,y)\right|\leq M$。 【考研刷题通】——考研刷题小程序，涵盖政治、英语、数学等全部考研科目，助你高效备考，轻松拿分！立即关注，开启你的考研刷题之旅！