在解决考研数学二线性代数的问题时，关键在于熟练掌握矩阵运算、行列式求解、向量空间的基础知识和特征值特征向量的计算。以下是一个线性代数问题的解题步骤示例：
题目：设矩阵 \( A = \begin{bmatrix} 1 & 2 \\ 3 & 4 \end{bmatrix} \)，求矩阵 \( A \) 的特征值和特征向量。
解题步骤：
1. 求特征值：
根据特征值的定义，设 \( \lambda \) 为矩阵 \( A \) 的特征值，则有 \( \det(A - \lambda I) = 0 \)。
\( A - \lambda I = \begin{bmatrix} 1 - \lambda & 2 \\ 3 & 4 - \lambda \end{bmatrix} \)。
计算行列式：\( \det(A - \lambda I) = (1 - \lambda)(4 - \lambda) - 3 \cdot 2 = \lambda^2 - 5\lambda + 2 = 0 \)。
解得特征值 \( \lambda_1 = 1 \)，\( \lambda_2 = 2 \)。
2. 求特征向量：
对应特征值 \( \lambda_1 = 1 \)，解方程组 \( (A - \lambda_1 I) \vec{x} = 0 \)。
\( (A - I) = \begin{bmatrix} 0 & 2 \\ 3 & 3 \end{bmatrix} \)。
解得特征向量 \( \vec{x}_1 = \begin{bmatrix} -1 \\ 1 \end{bmatrix} \)。
对应特征值 \( \lambda_2 = 2 \)，解方程组 \( (A - \lambda_2 I) \vec{x} = 0 \)。
\( (A - 2I) = \begin{bmatrix} -1 & 2 \\ 3 & 2 \end{bmatrix} \)。
解得特征向量 \( \vec{x}_2 = \begin{bmatrix} -2 \\ 1 \end{bmatrix} \)。
通过以上步骤，我们得到了矩阵 \( A \) 的两个特征值 \( \lambda_1 = 1 \)，\( \lambda_2 = 2 \) 和相应的特征向量 \( \vec{x}_1 = \begin{bmatrix} -1 \\ 1 \end{bmatrix} \)，\( \vec{x}_2 = \begin{bmatrix} -2 \\ 1 \end{bmatrix} \)。
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