在探索考研高等数学的极限计算题时，我们常遇到如下类型的问题：已知函数在某点连续，求该点处的极限值。以下是一个典型的例子：
题目：已知函数 \( f(x) = \frac{x^3 - 6x^2 + 9x - 1}{x - 1} \)，求 \( x \to 1 \) 时的极限。
解答：首先观察函数 \( f(x) \) 在 \( x = 1 \) 处是否连续。通过多项式除法，我们可以将 \( f(x) \) 分解为 \( f(x) = (x - 1)(x^2 - 5x + 1) + 4 \)。由此可知，\( f(x) \) 在 \( x = 1 \) 处连续。
接下来，计算 \( x \to 1 \) 时的极限。由于 \( f(x) \) 在 \( x = 1 \) 处连续，根据极限的连续性定理，我们有：
\[ \lim_{x \to 1} f(x) = f(1) \]
将 \( x = 1 \) 代入 \( f(x) \) 中，得到：
\[ f(1) = \frac{1^3 - 6 \times 1^2 + 9 \times 1 - 1}{1 - 1} \]
由于分母为 0，直接计算会导致不定式。但我们可以利用多项式除法的结果，即 \( f(x) = (x - 1)(x^2 - 5x + 1) + 4 \)，从而得到：
\[ \lim_{x \to 1} f(x) = \lim_{x \to 1} [(x - 1)(x^2 - 5x + 1) + 4] \]
由于 \( x \to 1 \) 时，\( (x - 1) \to 0 \)，因此上式可以简化为：
\[ \lim_{x \to 1} [(x - 1)(x^2 - 5x + 1) + 4] = 0 \times (1^2 - 5 \times 1 + 1) + 4 = 4 \]
所以，\( x \to 1 \) 时 \( f(x) \) 的极限为 4。
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