在中山大学考研数学的考卷中，第23题通常是一道综合性较强的题目，可能涉及多个数学知识点。以下是对该题的原创解答：
题目：已知函数 \( f(x) = x^3 - 3x^2 + 4x + 1 \)，求 \( f(x) \) 的最大值和最小值。
解答步骤：
1. 首先对函数 \( f(x) \) 求导，得到 \( f'(x) = 3x^2 - 6x + 4 \)。
2. 令 \( f'(x) = 0 \)，解得 \( x = 1 \) 或 \( x = \frac{2}{3} \)。
3. 对 \( f'(x) \) 再次求导，得到 \( f''(x) = 6x - 6 \)。代入 \( x = 1 \) 和 \( x = \frac{2}{3} \)，计算 \( f''(1) = 0 \) 和 \( f''(\frac{2}{3}) = -2 \)。
4. 因为 \( f''(1) = 0 \)，所以 \( x = 1 \) 为极值点，但无法确定是最大值还是最小值。因为 \( f''(\frac{2}{3}) < 0 \)，所以 \( x = \frac{2}{3} \) 为局部最大值点。
5. 计算 \( f(\frac{2}{3}) = \frac{8}{27} - \frac{4}{3} + \frac{8}{3} + 1 = \frac{19}{27} \)。
6. 由于 \( f(x) \) 为三次多项式，且在 \( x = \pm \infty \) 时 \( f(x) \to +\infty \)，所以 \( f(x) \) 的最小值为 \( f(\frac{2}{3}) = \frac{19}{27} \)。
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