在2021年考研数学一的第9题中，考生被要求解决一个涉及多元函数微分学的问题。题目具体如下：
已知函数 \( f(x, y) = x^3y^2 + 3x^2y - 2xy^3 + 2y^4 \)，求函数在点 \( P(1, -1) \) 处沿方向 \( \mathbf{l} \) 的方向导数，其中 \( \mathbf{l} \) 与 \( x \) 轴的夹角为 \( 45^\circ \)。
解答步骤如下：
1. 计算函数 \( f(x, y) \) 在点 \( P(1, -1) \) 处的偏导数：
\[
f_x' = \frac{\partial}{\partial x}(x^3y^2 + 3x^2y - 2xy^3 + 2y^4) = 3x^2y^2 + 6xy - 2y^3
\]
\[
f_y' = \frac{\partial}{\partial y}(x^3y^2 + 3x^2y - 2xy^3 + 2y^4) = 2x^3y + 3x^2 - 6xy^2 + 8y^3
\]
将点 \( P(1, -1) \) 代入上述偏导数中，得到：
\[
f_x'(1, -1) = 3(-1)^2(-1)^2 + 6(-1)(-1) - 2(-1)^3 = 3 + 6 + 2 = 11
\]
\[
f_y'(1, -1) = 2(1)^3(-1)^2 + 3(1)^2 - 6(1)(-1)^2 + 8(-1)^3 = 2 + 3 - 6 - 8 = -9
\]
2. 计算方向向量 \( \mathbf{l} \) 的单位向量 \( \mathbf{u} \)：
\[
\mathbf{l} = \begin{pmatrix} \cos 45^\circ \\ \sin 45^\circ \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} \frac{\sqrt{2}}{2} \\ \frac{\sqrt{2}}{2} \end{pmatrix}
\]
单位向量 \( \mathbf{u} \) 为：
\[
\mathbf{u} = \frac{1}{\sqrt{2}} \begin{pmatrix} \cos 45^\circ \\ \sin 45^\circ \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} \frac{1}{\sqrt{2}} \\ \frac{1}{\sqrt{2}} \end{pmatrix}
\]
3. 计算方向导数：
\[
\text{方向导数} = f_x'(1, -1) \cdot \frac{1}{\sqrt{2}} + f_y'(1, -1) \cdot \frac{1}{\sqrt{2}} = 11 \cdot \frac{1}{\sqrt{2}} - 9 \cdot \frac{1}{\sqrt{2}} = \frac{2}{\sqrt{2}} = \sqrt{2}
\]
因此，函数 \( f(x, y) \) 在点 \( P(1, -1) \) 处沿方向 \( \mathbf{l} \) 的方向导数为 \( \sqrt{2} \)。
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