在考研数学中，二元函数题目往往考查考生对函数极限、偏导数、多元微分以及多元函数积分等概念的理解与应用。以下是一道典型的二元函数题目：
题目：已知函数 \( f(x, y) = \frac{x^2y}{x^2 + y^2} \)，求点 \( (0, 0) \) 处的偏导数 \( f_x'(0,0) \) 和 \( f_y'(0,0) \)。
解答思路：
1. 利用定义法求偏导数。
2. 首先求 \( f_x'(0,0) \)，即对 \( x \) 求偏导，将 \( y \) 视为常数。
3. 然后求 \( f_y'(0,0) \)，即对 \( y \) 求偏导，将 \( x \) 视为常数。
具体步骤如下：
1. 求 \( f_x'(0,0) \)：
\[
f_x'(0,0) = \lim_{h \to 0} \frac{f(0+h,0) - f(0,0)}{h} = \lim_{h \to 0} \frac{\frac{h^2 \cdot 0}{h^2} - 0}{h} = 0
\]
因此，\( f_x'(0,0) = 0 \)。
2. 求 \( f_y'(0,0) \)：
\[
f_y'(0,0) = \lim_{k \to 0} \frac{f(0,0+k) - f(0,0)}{k} = \lim_{k \to 0} \frac{\frac{0 \cdot k^2}{0 + k^2} - 0}{k} = 0
\]
因此，\( f_y'(0,0) = 0 \)。
综上，点 \( (0, 0) \) 处的偏导数 \( f_x'(0,0) \) 和 \( f_y'(0,0) \) 均为 0。
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