考研数学第二章笔记大全
一、行列式的概念与性质
1. 行列式的定义：将一个数表按照一定的规则展开后求得的代数和。
2. 行列式的性质：
a. 行列式按行展开，展开后的各项系数与原行列式中的行标相对应。
b. 行列式的某一行（列）各元素乘以同一常数k，等于以k乘以该行（列）为元素的行列式。
c. 互换行列式的两行（列），行列式的值变号。
d. 如果行列式的两行（列）对应元素成比例，则该行列式的值为0。
二、克拉默法则
1. 克拉默法则：如果方程组系数行列式不为0，则方程组有唯一解。
2. 解的表示：方程组的解为x_i = D_i / D，其中D_i是原方程组系数行列式，将第i列替换为方程组右边的常数项所得的行列式。
三、矩阵及其运算
1. 矩阵的定义：一个由m×n个实数或复数构成的数表称为m×n矩阵。
2. 矩阵的运算：
a. 矩阵加法：两个矩阵对应位置上的元素相加。
b. 矩阵数乘：一个矩阵乘以一个实数或复数。
c. 矩阵乘法：两个矩阵相乘，要求第一个矩阵的列数等于第二个矩阵的行数。
四、逆矩阵
1. 逆矩阵的定义：如果矩阵A的逆矩阵存在，则存在一个矩阵A^{-1}，使得AA^{-1} = A^{-1}A = E。
2. 逆矩阵的性质：
a. 逆矩阵存在且唯一。
b. 矩阵与其逆矩阵的乘积等于单位矩阵。
c. 逆矩阵的行列式等于原矩阵行列式的倒数。
五、矩阵的应用
1. 线性方程组的求解。
2. 线性变换。
3. 线性空间。
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