在考研数学中，级数判定敛散性是级数理论的核心内容之一。这一部分主要涉及正项级数、交错级数和条件收敛级数的敛散性判断。以下是一些常用的判定方法：
1. 比值审敛法：对于正项级数，若极限 $\lim_{n\rightarrow \infty} \frac{a_{n+1}}{a_n} = L$，则：
- 当 $L < 1$ 时，级数收敛；
- 当 $L > 1$ 时，级数发散；
- 当 $L = 1$ 时，比值审敛法失效，需考虑其他方法。
2. 根值审敛法：与比值审敛法类似，对于正项级数，若极限 $\lim_{n\rightarrow \infty} \sqrt[n]{a_n} = L$，则判定结果与比值审敛法相同。
3. 比较审敛法：通过比较已知敛散性的级数，判断待判定级数的敛散性。具体方法有：
- 直接比较法：若 $\sum_{n=1}^{\infty} b_n$ 收敛，且 $a_n \leq b_n$，则 $\sum_{n=1}^{\infty} a_n$ 也收敛；
- 极限比较法：若 $\lim_{n\rightarrow \infty} \frac{a_n}{b_n} = L$，且 $L > 0$，则 $\sum_{n=1}^{\infty} a_n$ 与 $\sum_{n=1}^{\infty} b_n$ 同敛散。
4. 交错级数审敛法：对于交错级数 $\sum_{n=1}^{\infty} (-1)^{n-1} a_n$，若满足以下条件，则级数收敛：
- $a_n > 0$；
- $a_n$ 单调递减；
- $\lim_{n\rightarrow \infty} a_n = 0$。
5. 条件收敛级数：对于条件收敛级数 $\sum_{n=1}^{\infty} a_n$，若存在级数 $\sum_{n=1}^{\infty} b_n$，使得 $\sum_{n=1}^{\infty} a_n = \sum_{n=1}^{\infty} b_n$，且 $\sum_{n=1}^{\infty} b_n$ 收敛，则称 $\sum_{n=1}^{\infty} a_n$ 为条件收敛。
掌握以上方法，结合具体题目，即可解决考研数学中关于级数敛散性的问题。为了更好地备考，推荐使用微信考研刷题小程序：【考研刷题通】，涵盖政治、英语、数学等全部考研科目，助你高效刷题，轻松备考！
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